دانلود پایان نامه

ن آنالیز پایداری مدل غیرخطی و طراحی کنترل کننده تاکاگی – سوگنو شود. این ویژگی به ساختار کنترل ۳۶PDC منجر میگردد. ساختار کنترل جبرانساز موازی توزیع یافته به این معناست که کنترل کننده تاکاگی – سوگنو مجموعههای فازی مشابه را با مدل تاکاگی – سوگنو در فرض به اشتراک میگذارد. در نهایت کنترل کننده غیرخطی توسط ترکیبی از بهرههای فیدبک به دست میآید.

۳-۴-۴- جبران سازی موازی توزیع یافته
تاریخچه نامیدن روش جبران سازی موازی توزیع یافته، با یک مدل بر پایه طراحی روش پیشنهاد شده توسط کانگ و سوگنو آغاز شد[۱۴]. تحقق روش جبرانساز موازی توزیع یافته با موضوع کنترل اولین بار با یک مدل فازی تاکاگی سوگنو ارایه شد[۱۶],[۱۵]. در روش طراحی جبرانساز موازی توزیع یافته هر قانون کنترل نظیر به نظیر با قوانین مدل فازی طراحی شده است برای مدل فازی زیر
قاعده i ام از مجموعه قواعد اگر- آنگاه:
اگر z1(t)، Mi1 و … و zp(t)، Mip باشد آنگاه
{█(x ̇(t)=A_i x(t)+B_i u(t)@y(t)=C_i x(t) ) i=1,…,r┤ (۳-۲۳)
ساختار کنترل کننده فازی با روش جبرانساز موازی توزیع یافته به صورت زیر تعریف میشود:
قاعده i ام کنترلی:
اگر z1(t)، Mi1 و … و zp(t)، Mip باشد آنگاه
u(t)=-F_i x(t)(3-24)
کنترل کننده فازی جبرانساز موازی توزیع یافته زیر به زای تمامی قواعد قابل نمایش است
u(t)=-(∑_(i=1)^r▒〖W_i (z(t))F_i x(t)〗)/(∑_(i=1)^r▒〖W_i (z(t))〗)=-∑_(i=1)^r▒〖h_i (z(t))F_i x(t)〗(۳-۲۵)
طراحی کنترل کننده جبرانساز موازی توزیع یافته (فیدبک حالت) در واقع تعیین همین بهره‌های F_i است.
با ترکیب قانون کنترلی u(t)=-F_i x(t) و معادلات حالت خطی سیستم در هر قاعده، به ازای تمامی قواعد میتوانیم مدل فازی کلی سیستم را به صورت زیر باز نویسی کنیم:
x ̇(t)=∑_(i=1)^r▒〖h_i (z(t))h_i (z(t))G_ii x(t)〗+۲∑_(i=1)^r▒∑_(iG_ij=A_i-B_i F_j(3-27)
با توجه به بحث بالا آنالیز پایداری سیستم فازی تاکاگی – سوگینو مورد علاقه بسیاری از پژوهشگران میباشد. تاناکا بحث پایداری لیاپانوف را مورد بررسی قرار داد تا به موضوع پایداری و طراحی کنترل کننده تاکاگی – سوگنو رسیدگی کند. این مسئله نیاز به یافتن یک ماتریس متعارف مثبت معین p دارد که نامعادله لیاپانوف برای کل سیستم برقرار گردد. در این رابطه بهینه سازی ماتریس نابرابری خطی و یا به اصطلاح LMI37 [17] برای حل ماتریس p مورد بررسی قرار میگیرد.
اگرچه طراحی – فازی بسیار محبوب است اما خود دارای چندین مشکل میباشد. این مشکلات هنگامی بیشتر نمایان میشوند که کنترل کننده فازی دارای قوانین بسیاری باشد. بنابراین به دلیل تاثیر تداخل قوانین، تعداد کلی ماتریسهای LMI افزایش یافته و امکان حل LMI کاهش خواهد یافت.

۳-۴-۴-۱- پایداری کنترل کننده تاکاگی – سوگنو
پس از تعریف مدل فازی تاکاگی– سوگینو و کنترل فازی آن براساس روش جبرانساز موازی توزیع یافته به بررسی مسئله پایداری آن میپردازیم. تاناکا و سوگنو از روش لیاپانوف برای به دست آوردن شرایط پایداری سیستم فازی تاکاگی – سوگنو استفاده نمودند[۱۹],[۱۸]. به این معنی که سیستم فازی تاکاگی – سوگینو به طور مجانبی پایدار است اگر ماتریس مثبت p وجود داشته باشد بطوریکه V ̇(X(t))<0 برای زمان پیوسته وV(X(k+1))-V(X(k))<0 برای زمان گسسته، که در آن یک انتخاب برای V(X)، V(X)=X^T PX می باشد.
قضیه ۱.تعادل سیستم فازی [۱۲]

{█(x ̇(t)=A_i x(t)+B_i u(t)@y(t)=C_i x(t) ) i=1,…,r┤ (۳-۲۸)
در حالت ورودی صفر، پایدار مجانبی سراسری است، اگر وجود داشته باشد یک ماتریس مشترک معین مثبت P که:
A_i^T P+PA_i<0 i=1,…,r(3-29)
قضیه۲. تعادل سیستم کنترل جبرانساز موازی توزیع یافته [۱۲]

x ̇(t)=∑_(i=1)^r▒〖h_i (z(t))h_i (z(t))G_ii x(t)〗+۲∑_(i=1)^r▒∑_(i پایدار مجانبی سراسری است اگر وجود داشته باشد یک ماتریس مشترک معین مثبت P که:
G_ii^T P+PG_ii<0(3-31)
((G_ij+G_ji)/2)^T P+P((G_ij+G_ji)/2)≤۰ i که در رابطه بالا منظور از h_i∩h_j≠∅ آن است که توابع عضویت h_i و h_j همپوشانی داشته باشند.
مسئله اصلی، چگونگی یافتن P برای حل نامعادله لیاپانوف میباشد. قبل از دهه گذشته طراحان کنترل کننده، P را بصورت سعی و خطا بدست میآورند. در حقیقت حل مسئله P زمانی با تضمین بهتر و با درستی بیشتر صورت گرفت که روش حل LMI به مراحل پیشرفت بیشتری رسید. از آن پس بررسی پایداری و طراحی کنترل کننده تاکاگی– سوگنو به عنوان یکی از مسایل برجسته LMI درآمد.

۳-۵ – طراحی کنترل کننده فازی

برای طراحی کنترل کننده فازی روابط نابرابری زیر را از راست و چپ در P-1ضرب کنید
G_ii^T P+PG_ii<0(3-32)
((G_ij+G_ji)/2)^T P+P((G_ij+G_ji)/2)≤۰ iنتیجه میدهد
-XA_i^T-A_i X+M_i^T B_i^T+B_i M_i>0(3-34)
-XA_i^T-A_i X-XA_j^T-A_j X+M_j^T B_i^T+B_i M_j+M_i^T B_j^T+B_j M_i≥۰(۳-۳۵)
که در روابط بالا

X=P^(-1) M_i=F_i X (3-36)
حال برای طراحی کنترل کننده
جبرانساز موازی توزیع یافته مسئله LMI به صورت زیر را بایستی حل کنیم:
مقادیر X0 و M_i را به شرطی که روابط زیر برقرار باشند پیدا کنید:
-XA_i^T-A_i X+M_i^T B_i^T+B_i M_i0(3-37)
-XA_i^T-A_i X-XA_j^T-A_j X+M_j^T B_i^T+B_i M_j+M_i^T B_j^T
+B_j M_i≥۰ ; ij h_i∩h_j≠∅(۳-۳۸)
با حل مسئله بالا مقادیر مربوط به بهره ها به صورت M_i=F_i Xو X=P^(-1) بدست میآیند.
در کل به دست آوردن ماتریس P برای حل معادله لیپانوف کار سادهای نیست، بخصوص زمانی که سیستم فازی دارای تعداد زیادی از قوانین اگر- آنگاه باشد. برای غلبه بر این مشکل تعداد زیادی از طراحیهای کنترل کننده بر اساس تابع لیاپانوف قطعهای انتخاب میگردد. البته لازم به ذکر است که استفاده از این روش به دلیل داشتن شرایط و محدودیتهای ایجاد شده به وسیله توابع قطعهای میزان استفاده عملی آن را کم میکند[۲۰].
علاوه بر این میتوان برخی از عناصر سیستم غیرخطی را همراه با عدم قطعیت در نظر گرفت که زیرسیستمهای مدل فازی تاکاگی– سوگنو به عنوان سیستمهای همراه با عدم قطعیت شناخته میشوند.که به این سیستم فازی مدل فازی تاکاگی– سوگنوی مبهم گفته میشود. بنابراین طراحی روباست نیز در طراحی کنترل کننده فازی دخیل میشود [۲۱-۲۳]. در این حالت مسئله نسبت به قبل پیچیده تر میگردد و نیاز به کاهش قوانین فازی نسبت به قبل بیشتر احساس میشود.
در ادامه طراحی سیستم ردیاب با فیدبک حالت را توضیح میدهیم که پس از طراحی کنترل کننده فازی ( بدست آوردن بهرههای فیدبک) از آن استفاده میکنیم.

۳-۵-۱- طراحی سیستمهای ردیاب با فیدبک حالت
در برخی سیستمهای صنعتی و کاربردی، هدف اصلی از طراحی سیستم کنترل، پایدارسازی سیستم است. به عنوان نمونه، پایدار سازهای سیستم قدرت نوسانات ایجاد شده در سیستم قدرت را پس از بروز اغتشاشات میرا میکنند و پایداری سیستمهای قدرت را تضمین مینمایند[۲۴]. در موشکهای پایدار شده چرخشی که آنها را موشکهای بدون چرخش نیز مینامند، بخشی از سیستم کنترل یا اتوپایلوت موشک وظیفه میرا کردن نوسانات یا حرکات چرخشی موشک را بر عهده دارد، که به واسطه اغتشاشات یا تداخلات داخلی ایجاد میگردد [۲۵]. هم چنین در آونگ هدف از طراحی کنترل کننده ثابت نگه داشتن آونگ حول نقطه تعادل عمودی است، یا به عبارت دیگر پایدارسازی آونگ حول این نقطه تعادل است. این مثالها و مثالهای عملی بسیار دیگر، نمونههایی از سیستمهای رگولاتور یا پایدارساز هستند. ورودیهای مرجع در این سیستمها صفر در نظر گرفته میشود. طراحیهای فیدبک حالت پایدار سازند و پایدارسازی را با جابجایی و جایابی قطبهای حلقه بسته انجام میدهند. در این سیستمها، r(x)=0 است و حالتهای سیستم با فرض پایداری ماتریس حلقه بسته A-BK به صفر میل خواهد کرد. کاربردها و سیستمهای صنعتی فراوان دیگری را میتوان یافت که در آنها هدف از طراحی سیستم کنترل علاوه بر پایدار سازی، ردیابی هستند. در این سیستمها، ورودی مرجع غیر صفر است و سیستم کنترلی باید چنان طراحی گردد که خروجی سیستم حلقه بسته، ورودی مرجع را دنبال کند. این سیستمها را ردیاب گویند و در برخی روشها حالت تعقیب مدل نیز پیدا میکنند. برای نمونه، میتوان به طراحی سیستمهای کنترلی در ماشینهای الکتریکی اشاره کرد، که در آن سرعت سیستم باید مقدار معینی را دنبال کند. در کورههای صنعتی نیز پروفایلهای حرارتی تعریف میگردد و درجه حرارت داخل کوره باید این پروفایلهای حرارتی را به خوبی دنبال کند. هم چنین، در موشکهای هدایت شونده، فرامینی از طرف سیستم هدایت به اتوپایلوت ارسال میگردد. این فرامین میتوانند به صورت مقادیر خاص زاویه فراز یا حمله باشند، که در آن صورت موشک با حرکت بالکهای خود باید این فرامین را اجرا کند و خروجیهای زاویهای خود را به مقادیر تعیین شده برساند. [۲۵]
طراحی فیدبک حالت u(t)=-Kx(t)، در این بخش به روش پیش جبرانساز اصلاح میگردد تا اهداف ردیابی در سیستم تحقق یابد. در این روش، از پیش جبرانساز استاتیکی در مسیر ورودی مرجع استفاده میگردد.

۳-۵-۱-۱- طراحی پیش جبرانساز استاتیکی در مسیر ورودی مرجع
سیستم کنترل پذیر داده شده با معادلات حالت و خروجی زیر را در نظر بگیرید:
x ̇(t)=Ax(t)+Bu(t) (3-39)
y(t)=Cx(t) (3-40)
مطلوب است که با فیدبک حالت، ضمن پایداری سیستم حلقه بسته، برای ورودی مرجع داده سده r رابطه ردیابی زیر برقرار باشد:
lim┬(t→∞)⁡〖y(t)〗=r (3-41)
به عبارت دیگر، u(∞) را چنان پیدا کنید که lim┬(t→∞)⁡〖x(t)〗 ثابت باشد (پایداری) و
۰=Ax(∞)+Bu(∞) (۳-۴۲)
r=y(∞)=Cx(∞) (۳-۴۳)
با کم کردن معادلات (۳-۴۸) و (۳-۴۹) از معادلات (۳-۴۵) و (۳-۴۶) میدهد:
x ̇(t)=A[x(t)-x(∞)]+B[u(t)-u(∞)] (۳-۴۴)
y(t)-r=C[x(t)-x(∞)] (۳-۴۵)
با تعریف روابط زیر:
x^’ (t)=x(t)-x(∞)(۳-۴۶)
u^’ (t)=u(t)-u(∞) (۳-۴۷) y^’ (t)=y(t)-r(3-48)
معادلات (۳-۴۴) و (۳-۴۵) به صورت زیر بازنویسی میشوند:
(x’) ̇(t)=Ax^'(t) +Bu'(t) (3-49)
y^’ (t)=Cx^’ (t) (3-50)

اکنون فیدبک حالت زیر را چنان طراحی میکنیم تا سیستم حلقه بسته پایدار باشد:
u^’ (t)=-Kx^’ (t) (3-51)
و لذا
(x’) ̇(t)=(A-BK) x^’ (t) (3-52)
پایدار است. بنابراین
lim┬(t→∞)⁡〖x'(t)〗=۰ (۳-۵۳)
و یا
lim┬(t→∞)⁡〖y'(t)〗=lim┬(t→∞)⁡〖[y(t)〗-r]=0 (3-54)
که نشان دهنده ردیابی سیستم است. برای تعیین سیگنالهای کنترلی از معادله (۳-۵۱) داریم:
u(t)-u(∞)=-K[x(t)-x(∞)]
و یا
u(t)=-Kx(t)+u(∞)+Kx(∞) (۳-۵۵)
با تعریف u_a=u(∞)+Kx(∞) معادله (۳-۵۵) بدین صورت بازنویسی میشود:
u(t)=-Kx(t)+u_a (3-56)
توجه کنید که u_a مقدار ثابتی است که باید به قانون فیدبک حالت اضافه شود، تا ردیابی در سیستم ایجاد گردد. اکنون u_a را به صورت محاسبهای بدست میآوریم. از جایگذاری (۳-۵۶) در (۳-۳۹) داریم:
x ̇(t)=(A-BK)x(t)+Bu_a (3-57)
با توجه به پایداری سیستم معادله (۳-۵۷) میدهد:
۰=(A-BK)x(∞)+Bu_a
و لذا
x(∞)=-(A-BK)^(-1) Bu_a (3-58)
از معادلات (۳-۴۰) و (۳-۵۴) بدست میآوریم:
r=-C(A-BK)^(-1) Bu_a
و یا
u_a=〖[-C(A-BK)^(-1) B]〗^(-۱) r (3-59)
از طرف دیگر، تابع تبدیل حلقه بسته سیستم عبارت است از:
G_cl (s)=C[sI-A+BK]^(-1) B (3-60)
و لذا
G_cl (0)=-C[A-BK]^(-1) B (3-61)
که G_cl (0) مقدار بهره ماتریس حالت ماندگار سیستم حلقه بسته است. بنابراین، قانون فیدبک حالت برای ردیابی عبارت است از:
u(t)=-Kx(t)+[G_cl (0) ]^(-1) r (3-62)

دیاگرام بلوکی این سیستم در شکل زیر نمایش داده شده است[۲۶].

شکل (۳-۷): سیستم ردیاب با پیش جبران ساز ورودی مرجع

فصل چهارم

۴-کنترل کننده جبرانساز موازی توزیع یافته جرثقیل با کابل کششی

۴-۱- مقدمه

در فصل دوم مدل غیرخطی سیستم جرثقیل با کابل کششی ارائه شد در فصل سوم به دنبال مقدمهای بر منطق فازی، چگونگی مدل سازی سیستمهای غیرخطی بر اساس رویکرد تاکاگی– سوگنو۳۸ معرفی شد. طراحی کنترل کننده فازی ۳۹PDC و شرایط پایداری سیستم حلقه بسته به همراه رهیافت طراحی سیستم ردیاب فیدبک حالت با پیش جبران ساز استاتیکی نیز در فصل ۱ به طور کامل تشریح شد. در این فصل با تکیه بر آنچه در بخشهای قبل توضیح داده شده است و بدون تکرار توضیحاتی که به طور جامع در فصلهای قبل آمده است بیشتر سعی میکنیم تا روش طراحی را بر روی مدل غیر خطی سیستم جرثقیل با کابل کششی پیاده سازی کنیم. و نتایج را با روشهایی که در فصل اول ارایه شده اند مقایسه نماییم.
در این بخش ابتدا مدل غیرخطی جرثقیل با کابل کششی، معرفی شده در فصل اول را به یک مدل فازی تاکاگی– سوگنو تبدیل میکنیم به گونهای که به ازای شرایط اولیه یکسان، هر دو مدل رفتاری مشابه و یا بسیار نزدیک به هم داشته باشند. پس از آنکه مدل سازی سیستم غیرخطی جرثقیل با کابل کششی با استفاده از روش فازی تاکاگی– سوگنو انجام شد آنگاه برای کنترل خروجیهای مورد نظر، یعنی رسانیدن سر جرثقیل به موقعیت مورد نظر در کمترین زمان همراه با کمترین تاب خوردگی (نوسان) بار، از روش فیدبک حالت جبرانساز موازی توزیع یافته استفاده میکنیم. در این روش طراحی، ابتدا با استفاده از روش جبرانساز موازی توزیع یافته مانند آنچه در فصل ۳ توضیح داده شد سیستم غیرخطی جرثقیل با کابل کششی را پایدار میکنیم بدان معنی که ورودیهای مرجع در این سیستم صفر در نظر گرفته میشوند و حالتهای سیستم به دلیل پایداری ماتریس حلقه بست


پاسخی بگذارید