مقاله استاندارد و دینامیکی

در بدست آوردن این روابط از معادله قیدی (3-9) استفاده شده است تا متغیر را از این معادلات حذف کنیم. پارامتر واشتاب که به صورت تعریف می شود را می توان بر حسب متغیر های بی بعد به فرم زیر نوشت
(17-3) [do_widget id=kl-erq-2]
پارامتر معادله حالت موثر سیستم ، ، نیز بر حسب متغیر های بی بعد چنین رابطه ای دارد
(18-3)
در گام بعدی باید نقاط ثابت که حالت های بحرانی سیستم دینامیکی کیهانی هستند را بدست آورد.
نقاط ثابت و پایداری آن ها
از صفر قرار دادن معادلات مستقل (3-13) تا (3-16)، نقاط ثابت یا نقاط بحرانی مربوط به این سیستم دینامیکی بدست می آیند. در جدول (3-1) لیستی از این نقاط آورده شده است. در این جدول به ترتیب مختصات نقاط، پارامتر واشتاب و پارامتر معادله حالت مؤثر آن ها را قرار داده ایم.
در جدول (3-1) به صورت زیر تعریف می شود
(19-3)
تنها علامت مثبت در رابطه قابل قبول است زیرا علامت منفی آن سبب پارامتر معادله حالت نامعقول و برای نقطه ثابت می شود.
جدول ‏31: مختصات نقاط ثابت، ، پارامتر واشتاب و پارامتر معادله حالت مؤثر نقاط ثابت مربوط به نظریه های عام . منحنی بحرانی فقط برای مدل هایی از تابع وجود دارد که پارامتر در آن بصورت باشد. شاخص در بالای ، مقدار آن را به ازای مختصات نقطه ثابت نشان می دهد.
نقاط ثابت

Indefinite
در جدول 3-1، مختصات نقاط ، و به نوع تابع بستگی ندارد یعنی در فضای فاز همه ی مدل های این سه نقطه بحرانی یافت می شود. با این وجود در بحث پایداری خواهیم دید که پایداری این نقاط به شکل تابع وابسته است. البته در اینجا یک نقطه نیست بلکه منحنی از نقاط بحرانی است. منحنی بحرانی نیز تحت این شرط بدست آمده است که در سیستم معادلات مستقل، پارامتر برابر با 2/1 باشد
(20-3)
برای مثال در مدل هایی که شکل تابع به صورت است، پارامتر از (3-10) به صورت بدست می آید. در این صورت منحنی بحرانی فقط برای مدل مشخصی از با وجود دارد. پارامتر معادله حالت مربوط به منحنی بحرانی نیز وابسته به مختصات است. یعنی نقاط مختلف از این منحنی نواحی متفاوتی از تحول عالم را توصیف می کنند. مثلاً در ، نقطه بحرانی مربوطه یک فاز دوسیته را نمایش می دهد. در مورد نقطه بحرانی ، در بخش بعد که شکل تابع با ذکر چند مثال مشخص می شود توضیح خواهیم داد زیرا مختصات و رفتار فازی نقطه بحرانی از طریق به نوع تابع بستگی پیدا می کند. در ادامه، سه دوره ی مهم کیهانشناسی را در این نظریه بررسی می کنیم که مورد تایید مدل استاندارد کیهانشناسی است و هر نظریه کیهانشناسی معتبر باید آن ها را در خود داشته باشد.
دوره تابش غالب
در فضای فاز این مدل، دو نقطه و با پارامتر معادله حالت وجود دارد و به طور مؤثر نمایشگر فاز تابش غالب عالم هستند. این فاز همچنین بر روی منحنی بحرانی در دیده می شود. پایداری این نقاط را در بخش بعدی بررسی می کنیم.
دوره ماده غالب
نقطه بحرانی که نمایشگر دوره ماده غالب باشد باید پارامتر معادله حالت آن به طور مؤثر صفر باشد (). نقطه ای با مختصات بر روی منحنی با و همچنین نقطه بحرانی با شرط می توانند فاز ماده غالب را در فضای فاز این مدل تأمین کنند.
فاز دوسیته
از مشخصه های فاز دوسیته، مقدار پارامتر معادله حالت آن می باشد که به طور مؤثر برابر با است. فاز های دوسیته بسیاری ممکن است در فضای فاز یک مدل دیده شوند. آن حل دوسیته ای استاندارد است که پارامتر چگالی مادی آن برابر با صفر باشد. همان طور که از جدول (3-1) می بینیم، منحنی بحرانی و تمام نقاط ثابت روی آن، فاز دوسیته را نشان می دهند. از این میان تنها نقطه ی ثابت با مختصه ی از منحنی ، یک حل دوسیته ی استاندارد است. یکی از نقاط روی منحنی بحرانی با مختصه نیز یک فاز دوسیته (غیر استاندارد) را نشان می دهد اما این نقطه دقیقا بر روی یکی از نقاط منحنی با مختصه منطبق است.
دوره گذار از فاز واشتاب به فاز شتابدار
یکی از ویژگی های مهم مدل این است که گذار از فاز واشتاب به فاز شتابدار زمان اخیر در دینامیک آن وجود دارد. این گذار که در و اتفاق می افتد در فضای فاز با نقطه ثابتی از منحنی بحرانی با مختصه ی نشان داده می شود. یکی از موفقیت های این مدل همین است که بر روی شاخه نرمال DGP این گذار پیدا شده است. نقطه ثابت که مختصات، دینامیک و پایداری آن به پارامتر یا به شکل تابع بستگی دارد نیز این گذار را نشان می دهد. در واقع برای آن دسته از مدل های که پارامتر در آن مقدار باشد، نقطه ثابت یک حالت گذار را در دینامیک مدل نشان می دهد.