مقاله اصلاح هندسی و استاندارد

هندسه ی تاریک [do_widget id=kl-erq-2]
ایده ی هندسه تاریک می تواند به طرق مختلفی ایجاد شود. نظریات ابعاد اضافه ای که در فیزیک ذرات معرفی شده اند و بحث های مربوط به جهان شامه ای، نوعی اصلاح هندسی برای نسبیت عام اینشتاین محسوب می شوند که در ادامه به تفصیل آن را شرح می دهیم. گرانش اصلاح شده ی و یا جملات مرتبه بالاتر تانسور انحنا تحت عنوان اثرات گاوس- بانت نیز به اصلاح بخش هندسی نسبیت عام مربوط می شوند که در فصل های بعد به آن پرداخته خواهد شد.
نظریه ی کالوزا و کلاین
در سال 1921 برای نخستین بار ریاضیدان آلمانی تئودور کالوزا ایده ی جالب بعد اضافه را مطرح کرد. وی پیشنهاد کرد که می توان نظریه نسبیت اینشتین و نظریه الکترومغناطیس را با اضافه کردن یک بعد فضایی دیگر به چهار بعد فضا زمان، باهم متحد کرد. به طوری که نیروی گرانش و نیروی الکترومغناطیس جنبه های مختلف یک ابر نیرو محسوب شوند [11]. در سال 1926 فیزیکدان سوئیسی اسکار کلاین این نظریه را توسعه داد. کلاین پیشنهاد کرد غیر قابل لمس بودن بعد اضافه صرفاً به این دلیل است که اندازه ی این بعد، بسیار کوچک و در حدود اندازه های ثابت پلانک است. از نظر کلاین بعد اضافه به صورت دایره ای با شعاع بسیار کوچک خمیده شده است. محیط این دایره اندازه ی بعد اضافه است که حدود متر است [12]. در نظریه کالوزا- کلاین هر نقطه مادی در واقع یک حلقه در بعد پنجم است. بنابراین فضازمان مورد نظر یک منیفلد 5 بعدی است که حاصلضرب مستقیم بین فضازمان 4بعدی معمولی و حلقه های دایره گونه ی است.
شکل ‏16 : a فضا زمان 4 بعدی معمولی، b منیفلد 5 بعدی کالوزا-کلاین در مقیاس پلانک و c منیفلد 5 بعدی کالوزا- کلاین در مقیاس پایین انرژی
مد های کالوزا- کلاین
قطبیدگی گراویتون 5 بعدی
گراویتون 5 بعدی در نظریه ی کالوزا- کلاین را می توان با نمایش های متفاوتی در فضازمان 4 بعدی جداسازی کرد که به این کار به اصطلاح قطبیدگی گراویتون گفته می شود. حال تعداد قطبیدگی گراویتون بستگی به تعداد درجات آزادی اختلالات متریک 5 بعدی ( با ) دارد
(26-1)
از آنجا که متریک متقارن است اختلالات متریک از ابتدا 15 عنصر دارد. با به کار بردن پیمانه نرمال گاوسی و پیمانه ی بی اثر عرضی، تعداد درجات آزادی اختلالات کاهش می یابد. با پیمانه ی نرمال گاوسی می توان 5 درجه آزادی را حذف کرد. با به کار بردن پیمانه ی بی اثر عرضی ، ، 5 درجه آزادی دیگر نیز حذف می شود. بنابراین تعداد درجات آزادی کل اختلالات 5 است. این بدین معنی است که گراویتون 5 بعدی، 5 درجه آزادی دارد و از این رو 5 حالت قطبیدگی برای آن پیش بینی می شود . حالت های قطبیده ای که ناظر 4بعدی احساس می کند در سه قالب زیر جداسازی می شود:
دو قطبش در مد های گراویتون با اسپین 2 و منطبق با گراویتون 4 بعدی
دو قطبش در مد های برداری با اسپین 1 و منطبق با فوتون 4 بعدی
یک قطبش در مد اسکالری با اسپین صفر که تحت عنوان رادیون شناخته شده است.
میدان اسکالر در فضا زمان کالوزا-کلاین
در نظریه ی کالوزا- کلاین، فیزیک به بعد اضافه ی بستگی ندارد. بنابراین می توان چنین ضابطه ای را برای متریک در نظر گرفت:
(27-1)
که در آن و به ترتیب میدان اسکالر و میدان برداری در فضا زمان 4بعدی هستند. پیشنهاد کلاین در رابطه با توپولوژی دایره ای بعد اضافه شرط تناوبی را برای بعد پنجم به همراه دارد:
(28-1)
شعاع فشردگی بعد اضافه است. بنابراین میدان اسکالر 5 بعدی را می توان حول بعد پنجم بسط فوریه داد [13]
(29-1)
به عنوان ضریب فوریه توابعی از مختصات 4 بعدی استاندارد هستند. حالت هایی با ، به اصطلاح میدان های جرم دار و حالت هایی با میدان های بدون جرم نامیده می شوند. این نامگذاری از این حقیقت ناشی می شود که هر میدان اسکالر در معادله حرکت 5 بعدی زیر صدق می کند
(30-1)
که عملگر دالامبری 5 بعدی است. و با توجه به رابطه (4) داریم
;
که در نهایت به معادله ی زیر می رسیم