مقاله مدل های نظری و اصلاح هندسی

A ماتریس ژاکوبین تبدیل نامیده می شود که با مشتقات جزئی اول تابع f ساخته می شود
Widget not in any sidebars

(48-2)
حال که توانستیم تابع را تقریب خطی بزنیم، ویژه مقادیر ماتریس ژاکوبین تبدیل می تواند پایداری و ناپایداری نقاط را به صورت زیر بدست دهد
در حالت کلی ویژه مقادیر می توانند حقیقی یا مختلط باشند:
اگر همه ی ویژه مقادیر ماتریس A حول نقطه ثابت ، بخش حقیقی منفی دارند، آنگاه آن نقطه یک جاذب پایدار است. اگر ویژه مقادیر همگی حقیقی باشند، این جاذب پایدار به شکل گره در فضای فاز دیده می شود (شکل سمت راست 2-3 یک گره را نشان می دهد). اگر تعدادی از ویژه مقادیر مختلط باشند، جاذب پایدار اسپایرال خواهد بود یعنی مسیر های فضای فاز به شکل مارپیچی به نقطه ثابت میل می کنند (شکل سمت چپ 2-3 یک اسپایرال را نشان می دهد).
اگر قسمت حقیقی تمامی ویژه مقادیر ماتریس A حول نقطه ثابت ، مثبت باشد، آنگاه آن نقطه یک دفع کننده ناپایدار است. شکل 2-2 یک نقطه ثابت ناپایدار را نشان می دهد که در سمت راست به شکل گره و در سمت چپ به صورت اسپایرال ظاهر شده است.
اگر قسمت حقیقی حداقل یکی از ویژه مقادیر مثبت باشد و بقیه منفی باشند باز هم یک دفع کننده ناپایدار خواهیم داشت. با این تفاوت که مسیر های فضای فاز این سیستم حول نقطه ثابت یک شکل زینی خواهند داشت. یعنی از یک سمت به آن میل می کنند و از سمت دیگر از آن دور می شوند. با این حال این نقاط زینی حالت های ناپایداری از سیستم هستند (شکل 2-4).
اگر بخش حقیقی همه ی ویژه مقادیر صفر باشد، مسیر های فضای فاز نه به نقطه ثابت میل میکنند و نه از آن دور می شوند بلکه حول نقطه ثابت می گردند. به این نقطه ثابت در اصطلاح نقطه مرکز گفته می شود. روش خطی سازی در تشخیص پایداری این نقاط با شکست مواجه می شود. روشی که برای پایداری نقطه مرکز به کار برده می شود قضیه ی خمینه مرکزی است [45]. اگر تنها یک یا چند ویژه مقدار با بخش حقیقی صفر داشته باشیم، منحنی از نقاط پایدار وجود خواهد داشت که پایداری آن با علامت ویژه مقادیر غیر صفر تعیین می شود [44].
کیهان ما یک سیستم دینامیکی غیر خطی است که چندین متغیر دینامیکی از جمله پارامتر هابل، اسکالر انحنا R و غیره در آن نقش دارند. متغیرهای دینامیکی در هر مدل ارائه شده توصیف کننده عالم، متفاوت خواهد بود. تشخیص متغیر های دینامیکی مستقل در هر مدل، ساختن یک دستگاه معادلات دیفرانسیل مستقل (معادله (2-39))، بدست آوردن نقاط ثابت به عنوان حالت های بحرانی عالم و تشخیص پایداری این نقاط و حالت ها می تواند در بررسی کیهانشناخت عالم و اعتبار کیهانشناختی آن مدل ارائه شده تأثیر گذار باشند. در این فصل به توصیف نظریه گرانشی پرداختیم و روش سیستم های دینامیکی که ابزاری مهم برای تشخیص اعتبار کیهانشناختی مدل های نظری محسوب می شود را معرفی کردیم. در فصل های بعد چندین مدل نظری را ارائه می دهیم و کیهانشناخت این مدل ها و اعتبار کیهانشناختی آن ها را به تفصیل بررسی می کنیم.
فصل سوم- اعتبار کیهانشناختی گرانش اصلاح شده ی القایی
مقدمه
شواهد رصدی بسیاری وجود دارند که سرعت رو به رشد و شتاب مثبت عالم را در دوره اخیر تایید می کنند[4-7] . مسیر های بسیاری در جلو روی کیهانشناسان قرار گرفته است تا بتوانند پدیده ای را که نسبیت عام معمولی قادر به توضیح آن نیست پاسخگو باشند. به عنوان مثال، مدل جهان شامه ی DGP در شاخه ی خود شتاب خود می تواند این فاز شتابدار را بدست دهد. هر چند شاخه مثبت یا خودشتاب با ایجاد مشکلاتی مثل ناپایداری های شبح گونه نتوانست چندان مورد توجه کیهانشناسان قرار بگیرد [32,33,46]، از این جهت آنها بیشتر بر روی شاخه نرمال مدل متمرکز شده اند. کیهانشناسان نشان دادند که شاخه ی نرمال پتانسیل آن را دارد تا فاز شتابدار کنونی عالم را توضیح دهد. از طرفی دیگر مدل های گرانش اصلاح شده ی نیز قابلیت آن را دارند تا پدیده ی شتاب کیهانی را ایجاد کنند. حال اگر بنا بر این باشد ما در عالمی زندگی کنیم که ابعاد فضا زمانی آن فراتر از 4 بعد باشد و این عالم بر مبنای نظریه ی جهان شامه ی مدل سازی شده باشد، گویا مدل خودشتاب مدل مناسبی نیست و ما ناچاریم شتاب مثبت عالم را به نوعی از شاخه نرمال مدل بدست آوریم. این پدیده یا با اضافه کردن عنصر انرژی تاریک به نظریه توجیح می شود یا با اصلاح هندسی شامه [33,47-50]. همچنین می توان فرض کرد گرانش القا شده بر روی شامه که از برهم کنش گراویتون های توده با تانسور انرژی- تکانه روی شامه نتیجه می شود از نوع اصلاح شده ی باشد. بر اساس دلایل کیهانشناسی و گرانشی ذکر شده، به نظر می رسد انتخاب مدل هایی مبتنی بر (گرانش اصلاح شده از نوع القایی) چندان دور از ذهن نباشد [33, 51-58] ما در ادامه دینامیک کیهانشناختی این مدل ها و اعتبار کیهانشناختی بعضی از آن ها را به تفصیل مورد بررسی قرار خواهیم داد.
نظریه ی گرانش القایی اصلاح شده
مقدماتی در مورد نظریه گرانش اصلاح شده را که در فصل 2 آورده ایم مرور می کنیم. کنش در گرانش اصلاح شده به صورت (2-2) تعریف می شود. با وردش کنش نسبت به متریک، معادلات میدان (2-8) را بدست می آوریم. تانسور انرژی- تکانه موثر که مربوط به بخش انحنای نظریه است نیز به صورت (2-9) بیان می شود. بررسی کیهانشناخت این مدل مستلزم بدست آوردن معادلات فریدمن است. با قرار دادن متریک FRW تخت به معادلات میدان مربوطه و فرض اینکه تانسور انرژی- تکانه ماده به شکل تانسور انرژی- تکانه سیال کامل است، معادلات فریدمن (2-25) و (2-26) نتیجه می شوند.
در مدل نظری ، مبنای کار بر این است که بر روی شاخه ی نرمال DGP، گرانش القا شده بر روی شامه به فرم اصلاح شده ی باشد. در حقیقت هیچ قیدی وجود ندارد که گرانش القا شده، که از برهم کنش گراویتون های توده با ماده استاندارد روی شامه نشأت می گیرد، لزوما از نوع گرانش اینشتاین استاندارد R باشد.
بنابراین کنش مدل به صورت زیر تعریف می شود
(1-3)
متریک 5 بعدی توده با اسکالر ریچی و متریک 4 بعدی شامه با اسکالر ریچی R است. معادله فریدمن اصلاح شده بر روی شاخه نرمال با رابطه زیر داده می شود [33]
(2-3)
مقیاس گذار به صورت تعریف می شود که معادل با رابطه (1-58) است. معادله ی ریچادوری نیز به صورت زیر نتیجه می شود
(3-3)
برای بدست آوردن این رابطه از معادله پایستگی انرژی مربوط به سیال انحنا استفاده شده است [59]
(4-3)
و به ترتیب چگالی انرژی و فشار سیال انحنا هستند و به صورت زیر تعریف می شوند
(5-3)