مقاله مدل های نظری و نقطه تقاطع

شکل ‏34: فضای فاز دو بعدی () حول نقطه ثابت استاندارد از منحنی .
شکل ‏35 : فضای فاز سه بعدی مربوط به منحنی . نقاط بحرانی در این زیر فضا بر روی خط و در صفحه قرار دارند.
Widget not in any sidebars

در شکل نیز واضح است. این خط یک جاذب پایدار مارپیچ است زیرا پارامتر را در محدوده ی (3-27) یعنی انتخاب کرده ایم.
رفتار مسیر های فازی در نزدیکی نقاط بحرانی ، و به تفضیل توضیح داده شد. برای بررسی رفتار این مسیر ها نزدیک نقطه ثابت ، لازم است شکل تابع مشخص باشد. ما در ادامه با ذکر چند مثال به توضیح رفتار مجانبی مدل، حول نقطه می پردازیم.
نتایج تحلیلی برای چند مدل مشخص
همانگونه که قبلا توضیح دادیم، پارامتر می تواند انحراف مدل از مدل را نشان دهد. در این بخش، دو مدل از تابع را مشخص می کنیم [69-72] تا نتایج آشکارتری از مدل عام بدست آوریم. سپس به بررسی اعتبار کیهانشناختی این مدل ها می پردازیم و از این طریق پارامتر های مدل را محدود می کنیم. اعتبار کیهانشناختی مدل های نظری بر این اساس است که بتوانند بعضی از دوره های مشخص تعریف شده در کیهانشناخت استاندارد را شامل شوند. چنین نظریه ای شامل یک دوره تابش غالب اولیه می باشد که به یک دوره ی ماده غالب می رسد و در نهایت به یک دوره ی شتابدار، در فاز دوسیته ختم می شود که عالم کنونی است. ما در ادامه فقط دو فاز اخیر عالم یعنی فاز ماده غالب و فاز شتابدار دوسیته را به عنوان حداقل شرط اعتبار کیهانشناختی در نظر میگیریم. اگر به جدول 3-1 نگاه کنیم، فقط منحنی بحرانی و نقطه ثابت می توانند فاز ماده غالب را بدست دهند. یعنی در قدم اول شرط ، مدل های را محدود به شکل هایی از تابع می کند که پارامتر آن مقادیر زیر را داشته باشند
(28-3)
(29-3)
در مدل هایی از نوع (3-28) که فاز ماده غالب آن از منحنی بحرانی حاصل می شود، دو فاز دوسیته وجود دارد : 1) نقطه ای با مختصات که بر روی منحنی قرار دارد و یک فاز دو سیته ی غیر استاندارد است، 2) منحنی دوسیته ی که یکی از نقاط آن در مختصات ، فاز دوسیته استاندارد است و از آنجا که در محدوده ی (3-27) قرار می گیرد، این نقطه ثابت یک حالت پایدار خواهد بود. در مدل هایی از نوع (3-29) که فاز ماده غالب از نقطه ثابت حاصل می شود، فقط منحنی دوسیته ی وجود دارد و فاز دوسیته استاندارد روی آن، در اینجا نیز یک حالت پایدار است. مسیر های فازی که از نقطه ثابت ماده غالب دور می شوند باید به نحوی به فاز دوسیته موجود در سیستم دینامیکی میل کنند. این ارتباط درست بین دوره ماده غالب ناپایدار و فاز دوسیته پایدار که لازمه ی اعتبار کیهانشناختی مدل ارائه شده است را می توان از روی نمودار مربوط به پارامتر بر حسب بررسی کرد.
(الف)
پارامتر مربوط به این تابع به صورت زیر تعریف می شود
(30-3)
که مستقل از است. از طرفی پارامتر مربوط به نقطه ثابت نیز از جدول 3-1 چنین رابطه ای دارد
(31-3)
اگر این نقطه در فضای فاز مدل وجود داشته باشد باید دو رابطه اخیر را مساوی هم قرار دهیم. یک معادله در جه دوم بر حسب r بدست می آید و به این نتیجه می رسیم که تنها دو جواب برای وجود دارد
(32-3)
(33-3)
جواب اول منجر به یک مقدار تعریف نشده برای نقطه ثابت می شود که در اینجا مورد بحث قرار نمی گیرد. از جواب دوم، مختصات نقطه ثابت به صورت زیر است
(34-3)
مقدار در می باشد. در ادامه، اعتبار کیهانشناختی این مدل را با تفسیر نمودار بر حسب r مربوطه (شکل 3-6) بررسی می کنیم. منحنی قرمز رنگ در شکل 3-6، تابع مدل، یعنی رابطه (3-30) را نشان می دهد. خط چین موجود در شکل، منحنی مربوط به نقطه ثابت است. در شکل، رابطه (3-30) به ازای در سمت چپ و به ازای در سمت راست رسم شده است (با این دو انتخاب مطمئن می شویم که دوره ی ماده غالب عالم در این مدل تأمین می شود). فاز دو سیته ی استاندارد از منحنی بحرانی با در شکل نشان داده می شود که البته فقط ناحیه پایداری این فاز ( ) را با نقطه چین آبی رنگ می بینیم. نقطه تقاطع دو منحنی که در شکل با نشان داده شده است، با مختصات در سمت چپ و با مختصات در سمت راست، به ترتیب فاز ماد غالب و فاز شتابدار غیر فانتومی را نشان می دهد که هردو از نقطه ثابت تأمین می شود.

شکل ‏36 : نمودار مربوط به مدل به ازای (شکل سمت چپ) و (شکل سمت راست). خط چینی که در دو نمودار می بینیم رابطه مربوط به نقطه ثابت است. خط فاز دوسیته استاندارد را نشان داد. نقطه چین آبی ناحیه ، شرط پایداری فاز دوسیته استاندارد، را نشان می دهد.
توجه کنید که در مدل اول با ، منحنی بحرانی وجود نخواهد داشت و فاز ماده غالب در این مدل از نقطه ثابت تأمین می شود. در حالیکه در مدل دوم با ، فاز ماده غالب با یک نقطه روی منحنی بحرانی بدست می آید و نقطه تقاطع در شکل که نماینده نقطه ثابت در مدل است، یک فاز شتابدار غیر فانتومی را نشان می دهد (به شکل 3-1 نگاه کنید). اگر منحنی مدل مربوطه به خط برسد، نقطه تقاطع جدید فاز دوسیته موجود در نظریه است اما اگر به ناحیه ی از یعنی به نقطه چین آبی رنگ برسد نقطه تقاطع آن ها یک فاز دوسیته ی پایدار است. تنها مدل هایی که منحنی مربوط به آن ها به نقطه چین آبی برسد از نظر کیهانشناختی معتبر خواهند بود.
همان طور که از شکل 3-6 می بینیم، منحنی قرمز رنگ سمت چپ در و در سمت راست در به فاز دوسیته استاندارد می رسد. بنابراین ارتباط خوش تعریفی بین دوره ی ماده غالب و فاز دوسیته وجود ندارد. به عبارت دیگر، دوره ماده غالبی که در عالم با وجود دارد هیچ گاه به یک فاز دوسیته پایدار نمی رسد. چنین نظریه ای از لحاظ کیهانشناختی چندان معتبر نیست.
(ب)